外森比克不等式(Weitzenberk inequation)描述了三角形三边长和面积的关系 \[ \sum a^2 \ge 4\sqrt3 S \]
当且仅当三角形为正三角形时等号成立.
Proof 1. \[ \begin{align} a^2 + b^2 + c^2 - 4\sqrt3 S &= a^2 + b^2 + a^2 + b^2 - 2ab\cos C - 2\sqrt3 ab\sin C \\ &= 2[a^2+b^2-2ab\sin(C+\frac{\pi}{6})] \\ &\ge 2(a^2+b^2-2ab) \ge 0 \\ \end{align} \] 因此原不等式得证, 当且仅当\(C=\pi/3\)且\(a=b\), 即为正三角形时等号成立.
Proof 2.
想到海伦公式应当是一件非常自然的事情, 因为海伦公式描述的也是三角形三边同面积的关系, 而且还和Weitzenberk不等式一样是一个三边的轮换对称式. 因此利用海伦公式理应可以很自然地导出Weitzenberk不等式: \[ \begin{align} 4S &= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ &= \sqrt{(a+b+c)(b+c-c)(a+c-b)(a+b-c)} \\ &\le \sqrt{(a+b+c)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3} \\ &= \frac{(a+b+c)^2}{3\sqrt3} \\ &= \frac{3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2}{3\sqrt{3}} \\ &\le \frac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{3}} \end{align} \] 从而原不等式得证. 当且仅当\(b+c-a=a+c-b=a+b-c\)且\(a=b=c\), 即三角形是等边三角形时等号成立. (这里很特别, 因为前后两个条件是等效的, 当然出于对称性的缘故其实并不难以理解)
其实这里中间还可以得到一个三边和与面积的关系:
\[ (a+b+c)^2 \ge 12\sqrt 3 S \] 这个证明过程中的关键步骤之一(另外一个关键步骤是应用立方形式的均值不等式)是将和的平方转化为平方和:
\[ (a+b+c)^2 + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 3(a^2+b^2+c^2) \] 这个恒等式的形式值得记住.
从海伦法证明过程中很容易给到W不等式的一个加强: \[ \sum a^2 \ge 4\sqrt3 S + \sum (a-b)^2 \] 这个加强被称为Finsler-Hadwiger不等式.