在直角三角形中, 基于相似性我们知道, 各个边的比值仅取决于锐角的角度, 我们定义一个角\(\angle A\)的对边与斜边之比值为\(\angle A\)的正弦(sine) \[
\sin A = \frac{a}{c}
\] 定义\(\angle A\)的邻边与斜边之比值为\(\angle A\)的余弦(cosine) \[
\cos A = \frac{b}{c}
\] \(\angle A\)的对边与邻边之比为\(\angle A\)的正切(tangent) \[
\tan A = \frac{a}{b}
\] 基于直角三角形定义的三角函数定义域只在锐角\(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)范围内, 因而也称为锐角三角函数(trigonometric functions of acute angle). 定义了锐角三角函数后, 由于锐角三角函数值可以被预先计算, 我们就可以在直角三角形中基于一条边和一个角度来确定其他的边角大小.
在平面直角坐标系中, 以原点为圆心, 单位长度为半径的圆称为单位圆(unit circle). 对于端点在原点且始边与\(x\)轴的非负半轴重合的角\(\alpha\), 其终边和单位圆交点\((x,y)\)的纵坐标\(y\)定义为角\(\alpha\)的正弦\(\sin\alpha\), 横坐标\(x\)定义为角\(\alpha\)的余弦(cosine) \(\cos\alpha\), 纵横坐标之比\(\dfrac{y}{x}\)定义为角\(\alpha\)的正切(tangent) \(\tan\alpha\).
容易得到, 正弦函数和余弦函数的定义域为实数集\(\mathbb{R}\), 值域均为\([-1, 1]\). 而正切函数的定义域为\(\left\{ x \middle| x\neq k\pi + \dfrac{\pi}{2} \right\}\), 值域为\(\mathbb{R}\).
现代三角学使用级数方法定义三角函数值 \[ \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^3}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \]
\[ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \]
其中\(x\)的定义域延拓到全体复数\(\mathbb{C}\).
| \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) | |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\pi/12\) | \(\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\) | \(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) | \(2-\sqrt3\) |
| \(\pi/8\) | \(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\) | \(\sqrt2-1\) |
| \(\pi/6\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) |
| \(\pi/4\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) |
根据定义容易得到以下两条性质: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, ~~~~ \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] 根据以上两条性质可以得到一些常用的推论: \[ (\sin\alpha \pm \cos\alpha)^2 = 1 \pm 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 \pm \sin2\alpha \\ \tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \csc^2 \alpha \]
注意到\(\alpha\pm 2k\pi\)的终边与\(\alpha\)的终边重合, 因而有 \[ \sin(\alpha\pm 2k\pi) = \sin \alpha, ~~~~ \cos(\alpha\pm 2k\pi) = \cos \alpha, ~~~~ \tan(\alpha\pm k\pi) = \tan \alpha \] 这意味着正弦函数和余弦函数的周期为\(2k\pi\), 最小正周期为\(2\pi\), 正切函数的周期为\(k\pi\), 最小正周期为\(\pi\).
基于单位圆关于\(x\)轴、\(y\)轴和原点\(O\)的对称性, 我们有 \[ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha, ~~~~ \cos(-\alpha) = \cos\alpha, ~~~~ \tan(-\alpha) = \tan\alpha \\ \sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha \] 注意到三角函数的定义域都关于原点对称, 因此前三条诱导公式意味着正弦函数和正切函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
\3. 三角不等式
高中阶段有一个常见的锐角三角不等式: 对于第一象限角\(x\in(0, \pi/2)\)有
\[ \sin x < x < \tan x \] 这个结论可以通过三角函数线和面积法(或直接求导)证明. 该不等式的重要意义之一在于, 作函数图像时应注意\(\sin x\)的图线在第一象限始终位于直线\(y=x\)之下, 第三象限则始终位于直线\(y=x\)之上.
请注意我们在作诱导变形的时候想的完全不是上述公式, 而是:
\5. 函数[img]
容易证明, 该函数定义域为[img], 值域为[img]